Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: Знаменитая первая задача заочников. Даны координаты вершин пирамиды ABCD,Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, алина аринова Ученик (69), закрыт 3 года назад. Уравнение прямой АВ (уравнение прямой проходящей через 2 точки) уравнение плоскости АВС (уравнение плоскости, проходящей через 3 рябят помогите По координатам вершин пирамиды АВСD найти: а) длины ребер АВ и АС б) косинус угла между векторами АВ и АС в).
Хорошо, что нет пункта найти высоту какой- нибудь грани этой пирамиды)AB=. Дана треугольная пирамида. Найти уравнения ребра, его длину, уравнение грани, угол и т. После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки: У треугольной пирамиды есть: – четыре вершины; – шесть рёбер (сторон); – четыре грани. Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр. Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите. Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (ст. Орону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторон. Ы)» и «уравнение грани». Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где- то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =) Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами. Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. Счастливчики отделаются 3- 4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий. Поздравляю, вы сорвали Джекпот! Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие.. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами . Выполним схематический чертёж: Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости . А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи, очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен. Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике. С чего начать решение задачи? Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников: Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а- ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно закачать на странице Математические формулы и таблицы. Как найти длину ребра пирамиды? Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора : Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1- го или 3- го десятичного знака. Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какой- нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам: Это всё простейшие задачи первого урока про векторы. Как составить уравнения стороны пирамиды? Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов: Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. Площадь грани : Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях. Как найти угол между ребром и гранью? Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере . Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину: Используем формулу: И с помощью арксинуса рассчитываем угол: Как найти уравнение грани? Составим уравнение плоскости. Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали : Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подходить». Как составить уравнения высоты пирамиды? Звучит грозно, решается просто. Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору : – по умолчанию записываем канонические уравнения. Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение. Как найти длину высоты пирамиды? Пример . Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости : Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе. Как найти основание высоты пирамиды? Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме: Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра : , или: . Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение : Кому- то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике. Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки: Сурово, но идеально точно. Я проверил. Как найти объем треугольной пирамиды? Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов: Таким образом: В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани. Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину соответствующей высоты Как составить уравнения медианы грани пирамиды? Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника: По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки : Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой: За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей: Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору : Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные. Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек в полученные канонические уравнения. Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро? Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину : А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость. К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам. В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из необходимых векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать друга- мажора . В качестве второго вектора подходит либо (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти: Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам : Очевидно, что координаты точек должны «подходить» в полученное уравнение плоскости. Как найти угол между гранью и плоскостью? Найдём угол между плоскостями и . Очередной типовик, рассмотренный в Примере . Данные плоскости пересекаются, и косинус угла между ними выражается формулой: , где – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор нормали и его длина уже известны. Осталось снять вектор нормали: и аккуратно провести вычисления: Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол: От тупизны подальше, за ответ таки лучше принять острого соседа: Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат? Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Это проще, чем кажется. С чего начать? Во- первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций. Во- вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему. Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси .
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
December 2016
Categories |